在機器學習的優(yōu)化問題中，梯度下降法和牛頓法是常用的兩種凸函數(shù)求極值的方法，他們都是為了求得目標函數(shù)的近似解。在邏輯斯蒂回歸模型的參數(shù)求解中，一般用改良的梯度下降法，也可以用牛頓法。由于兩種方法有些相似，我特地拿來簡單地對比一下。

　　1.梯度下降法

　　梯度下降法用來求解目標函數(shù)的極值。這個極值是給定模型給定數(shù)據(jù)之后在參數(shù)空間中搜索找到的。

　　迭代過程為：

　　梯度下降法更新參數(shù)的方式為目標函數(shù)在當前參數(shù)取值下的梯度值，前面再加上一個步長控制參數(shù)alpha。梯度下降法通常用一個三維圖來展示，迭代過程就好像在不斷地下坡，最終到達坡底。為了更形象地理解，也為了和牛頓法比較，這里我用一個二維圖來表示：

　　在二維圖中，梯度就相當于凸函數(shù)切線的斜率，橫坐標就是每次迭代的參數(shù)，縱坐標是目標函數(shù)的取值。

　　每次迭代的過程是這樣：

　　首先計算目標函數(shù)在當前參數(shù)值的斜率(梯度)，然后乘以步長因子后帶入更新公式，如圖點所在位置(極值點右邊)，此時斜率為正，那么更新參數(shù)后參數(shù)減小，更接近極小值對應的參數(shù)。

　　如果更新參數(shù)后，當前參數(shù)值仍然在極值點右邊，那么繼續(xù)上面更新，效果一樣。

　　如果更新參數(shù)后，當前參數(shù)值到了極值點的左邊，然后計算斜率會發(fā)現(xiàn)是負的，這樣經(jīng)過再一次更新后就會又向著極值點的方向更新。

　　根據(jù)這個過程我們發(fā)現(xiàn)，每一步走的距離在極值點附近非常重要，如果走的步子過大，容易在極值點附近震蕩而無法收斂。解決辦法：將alpha設定為隨著迭代次數(shù)而不斷減小的變量，但是也不能完全減為零。

　　2.牛頓法

　　首先得明確，牛頓法是為了求解函數(shù)值為零的時候變量的取值問題的，具體地，當要求解 f(θ)=0時，如果 f可導，那么可以通過迭代公式，來迭代求得最小值。

　　通過一組圖來說明這個過程：

　　迭代的公式如下：

　　當θ是向量時，牛頓法可以使用下面式子表示：

　　其中H叫做海森矩陣，其實就是目標函數(shù)對參數(shù)θ的二階導數(shù)。

　　3.牛頓法和梯度下降法的比較

　　1.牛頓法：

　　是通過求解目標函數(shù)的一階導數(shù)為0時的參數(shù)，進而求出目標函數(shù)最小值時的參數(shù);

　　收斂速度很快;

　　海森矩陣的逆在迭代過程中不斷減小，可以起到逐步減小步長的效果。

　　缺點：

　　海森矩陣的逆計算復雜，代價比較大，因此有了擬牛頓法。

　　2.梯度下降法：

　　是通過梯度方向和步長，直接求解目標函數(shù)的最小值時的參數(shù);

　　越接近最優(yōu)值時，步長應該不斷減小，否則會在最優(yōu)值附近來回震蕩。